Math 274 - EVEN ANSWERS - Spring 2013



  Various Even Answers: Please let me know if you find errors here.



Section:
   Answers:
1.2   8)   Yes, it is a solution.
  22a)   c1 = 5/3   ;   c2 = ⅓
1.3   8)   a)   7
        b)  accel. = 3t2 - 3t3x2 + 3x5
        c)  No 		  18)   All solutions approach zero as x goes to ∞.
2.2   2)   Yes
  4)   Yes
  6)   No
  10)   C = e2x(2x - 1) + 4e-t(t + 1)
  26)   y = [2 - ln(1 + x)]2 / 4
  36)   M = 20o C
2.3   2)   Linear
  4)   Linear & Separable
  6)   Neither
  14)   y = [1 / x3]*(sin x - x cos x - (3/5) x5 + C)
2.4   2)   Linear
  4)   Exact
  6)   Exact & Linear (dx / dy)
  8)   Linear
  14)   y = [C + et(t - 1)]   /   [1 + et]
  26)   x tan y - 2x + ln y = 0
2.5   2)   μ(x), μ(y), linear in x, separable
  4)   μ(y)
  6)   μ(y)
  8)   [y2 / 2] - [y / x] + 3x = C   &   x = 0
2.6   2)   form y' = G(y-4x)
  4)   linear coefficients
  6)   Bernoulli
  8)   homogeneous & Bernoulli
  20)   tan(x - y) + sec(x - y) = x + C
  22)   y = (+-) √[ 2 / (C*e-2x - e2x)]   &   y = 0
  36)   C = ln[(x + 3)2 + 3(t - 1)2] + [2 / √(3)] * arctan {(x + 3) / [(√ 3)(t - 1)]}
  40)   θ*y2 = C*(y+ θ)2   &   y = -θ
4.2   8)   y(t) = c1e [(-1+√{5})*t/2] + c2e[(-1-√{5})*t/2]
  14)   y(t) = 3 - e-t
  32)   Linearly Dependent
4.3   6)   w(t) = c1e-2tcos[√(2)*t] + c2e-2tsin[√(2)*t]
  12)   u(t) = c1cos[√(7)*t] + c2sin[√(7)*t]
  14)   y(t) = c1etcos(5t) + c2etsin(5t)]
  22)   y(t) = e-tcos(4t)
  24)   y(t) = cos(3t) + (1/3)*sin(3t)
  28)   (a)  y(t) = (4/3)*e-t - (1/3)*e-4t    ;    (b)  y(t) = e-2t + 2te-2t
          (c)   y(t) = e-tcos[√(3)*t] + (1/√{3})*sin[√(3)*t]
4.4   2)  Yes    ;    4)  Yes    ;    6)  No    ;    8)  Yes    ;   
  18)   yp(t) = -2t cos(2t)
  24)   yp(x) = x2 sin x + x cos x
  32)   yp(t) = t(A6 t6 + A5 t5 + A4 t4 + A3 t3 + A2 t2 + A1 t1 + A0)e-3t
4.5   4)   y(t) = -t + c1 et + c2 e-t
  18)   y(t) = -t2 + (4/3)*t + (1/9) + c1 e3t + c2 e-t
  28)   y(t) = (-1/10)*et - (1/6)*e2t + (1/12) + (1/60)*e-4t + (7/6)*e3t
4.6   10)  (a)   yp(t) = (1/3)*t*e2t    ;    (b)   yp(t) = (1/3)*t*e2t - (1/9)*e2t
  14)   y(θ) = (-1/2)*sec(θ) + sin(θ) tan(θ) + c1 cos(θ) + c2 sin(θ)
  16)   y(t) = 3t2 - 5t + (19/6) + c1e-2t + c2e-3t
4.9   6)  (a)   y(t) = (1/2)*{ [1 + √(2)]*e[-2 + √(2)]*t + [1 - √(2)]*e[-2-√(2)]*t }
        (b)   y(t) = (1 + 2t)e-2t    ;    (c)   y(t) = √(3)*e-2t sin { √(2)*t + arctan[1/√(2)] }
  8)   It never returns to equilibrium since y(t) = (1/12)*e-2t + (1/6)*e-5t is never zero.
  12)   Attains max. displacement to LEFT when t ≈ 0.08 seconds.
4.10   4)   y(t) = sin t + (5/2)* t sin t
  12)  y(t) = e-1.25 t { 0.04689*cos (6.89t) + 0.00848*sin(6.89t) } + 0.00311*cos(t) + 0.00016*sin(t)
         Resonance frequency is approximately 1.0786 (cycles/sec).
  14)   Steady-state:  y(t) = (7/50)*√(2)*sin(2t) + (1/50)*√(2)*cos(2t)   with amplitude 0.2 m   and   frequency (1/π) cycles per second.
6.1   4)   largest interval (-1,0)
  6)   largest interval (0,1)
  16)   y(x) = c1ex + c2cos(2x) + c3sin(2x)
6.2   2)   y(x) = c1ex + c2e-x + c3e3x
  6)   y(x) = c1e-x + c2excos x + c3etsin x
   14)   y(x) = c1e-x + c2x e-x + c3 cos(3x) + c4 sin(3x)
6.3   4)   y(x) = c1x2ex + c2x ex + c3
  6)   y(x) = (1/8)e-x + (3/20)cos x + (1/20) sin x + c1ex + c2x ex + c3e-3x
  10)   y(x) = (5/116)x e-3xcos(2x) - (1/58)x e-3x sin(2x) - (1/26) x - (1/676) + c1e2x + c2e-3x cos(2x) + c3e-3xsin(2x)
7.2   2)   F(s) = 2 / (s3)    for s > 0
  4)   F(s) = 1 / (s - 3)2    for s > 3
  6)   F(s) = s / (b2 + s2)    for s > 0
  12)   = (1-e-3(s-2))/(s - 2) + (e-3s)/ s    for s > 0,≠ 2
  16)   = 2 / s3 - 3 / s2 - 6 / ((s + 1)2 + 9)    for s > 0
  28)   continuous
7.3   2)   6 / s3 - 1 / (s - 2)    for s > 2
  4)   (72 - 4s2 + s4) / s5    for s > 0
  6)   2 / ((s + 2)2 + 4) + 2 / (s - 3)3   for s > 3
  32)   F(s) = e-2s / s
  34)   F(s) = e-πs / (s2 + 1)
7.4   4)   f(t) = (4 / 3)* sin(3t)
  34)   f(t) = (e3t - e4t)/ t
  36)   f(t) = (sin t) / t
7.5   2)   y(t) = e2t - 3e-t
  4)   f(t) = et - e-t - e-5t
  16)   Y(s) = (2 - s2 - s3) / (s3(s2 + 6))
7.6   2)   F(s) = (1 / s)*(e-s - e-4s)
  6)   F(s) = e-2s[(1/s2) + (3/s)]
  18)   y(t) = u(t - 1)[2et-1 + cos(t - 1)]
  26)   F(s) = [1 - e-as - ase-as] / [as2(1 - e-as)]
  40)   y(t) = 2e-t + te-t + u(t - 3){½ + e-t[4 - t - e3] + e-2t(e6 - 2e3) / 2}
7.7   2)   y(t) = cos(t) + ⅓ ∫0t sin(3t - 3v) g(v) dv
  10)   y(t) = ½ t2 + cos(t) - 1
  14)   F(s) = 1 / [(s2 + 1)(s - 1)]
7.8   10)   F(s) = 27e-3s
9.1
  4)    
 
x1
x2
x3
x4
 
'
 
 
 
 
 =
 
1 -1 1 1
1 0 0 1
√(π) 0 -1 0
0 0 0 0
 
 
x1
x2
x3
x4
 
  8)    
 
y
x
 
'
 
 
 =
 
0 1
-2/(1-t2) 2t/(1-t2)
 
 
y
x
 
9.3  2) (a)
 
3 -1 7
2 4 -1
 

 2) (b)
 
10 4 27
14 -5 15
 
 4) (a)    
 
2 5 -1
0 12 4
-1 8 4
 

  (b)    
 
3 2
-1 15
 
 6) (a)    
 
2 7
1 5
 

  (b)    
 
9 -1
6 1
 

  (c)    
 
6 1
5 -5
 
  32)  
 
3e-tcos(3t) - e-tsin(3t)
0
-3e-tcos(3t) + e-tsin(3t)
 

  34)  
 
2cos2t -2sin2t -2e-2t
-2cos2t -4sin2t -6e-2t
6cos2t -2sin2t -2e-2t
 
9.4   8)  
 
x1
x2
x3
 
'
 
 
 
 =
 
0 1 0
0 0 1
-1 1 0
 
 
x1
x2
x3
 
 +
 
0
0
cos t
 

  14)   Linearly Independent
  16)   Linearly Independent
  24)    
 
et
et
et
 
c1
 +
c2
 
sin t
cos t
-sin t
 
+
c3
 
-cos t
sin t
cos t
 

26)  
 
5t + 1
2t
4t + 2
 
+
c1
 
e3t
0
e3t
 
+
c2
 
-e3t
e3t
0
 
+
c3
 
-e-3t
-e-3t
e-3t
 
9.5  4)  r1 = -4
    r2 = 2
u1 = s1
 
1
-1
 

u2 = s2
 
5
1
 

  32)    x(t) = 2e3t
 
1
1
 
-
4e4t
 
3
2
 
=
 
2e3t - 12e4t
2e3t - 8e4t
 

  36)    x(t) = c1 e2t
 
1
1
 
+ c2 { te2t
 
1
1
 
+ e2t
 
4/3
1
 
}
9.6
  2)    x(t) = c1 { cos t
 
-5
2
 
- sin t
 
0
1
 
} + c2 { sin t
 
-5
2
 
+ cos t
 
0
1
 
}
9.7
  2)    x(t) = c1 e3t
 
1
2
 
+ c2 e-t
 
1
-2
 
+
 
t
2
 

  4)    x(t) = c1
 
-1
1
 
+ c2
 
e4t
e4t
 
+
 
-2 sin t
cos t + 2 sin t